어려운 수학문제에 대한 딸아이의 능청스러운 답

 

딸애는 학원을 다니지 않습니다. 대신 아내와 같이 공부를 합니다. 저야 방목주의라서 초등학교 때에는 무조건 놀아야 한다는 생각을 가지고 있습니다. 가끔 아이가 시험인 줄도 모르고 책상에 앉아 공부하고 있는 아이에게 놀아라 했다가 아내한테 핀잔을 받기도 합니다만.

 

조금 지난 얘기입니다만 어제 문득 폰에 저장되어 있는 사진을 보다가 딸애의 능청스런 답이 적힌 사진을 보게 되었습니다. 이날 아내가 수학문제를 풀게 했더니 딸아이의 답이 걸작이었습니다. 아내가 폭소를 터뜨리며 딸애가 쓴 문제의 답을 저에게 보여주더군요.

 

문제는 다음과 같았습니다.

 

"왜 4300이 8100보다 작은지 설명하시오"

 

딸아이의 답변이 걸작입니다.

 

"그게 이유가 있나?"

 

딸애의 능청스러움에 저도 모르게 웃음이 터졌습니다. 분명 다른 답이 있을 듯한 데요. 근데 가만히 생각해보니 이건 좀 이상했습니다. 초등 3학년이 풀기에는 조금 어려운 문제가 아닌가 싶더군요. 제가 봐도 ‘그게 이유가 있나’라고 의문을 품을 만했습니다. 4300이 8100보다 작다는 것은 어른이 봐도 당연한데 초등 딸아이가 볼 때는 당연한 거 아니겠습니까?

 

 

 

다음 문제에 딸아이가 남긴 답도 대박이었습니다.

 

"왜 3671이 3609보다 큰지 설명하시오"

 

딸아이의 답은 명쾌했습니다.

 

"그것도 이유가 있나?"

 

아내는 아연실색했고 저도 처음에는 웃다가 나중에는 무슨 초등 3학년 문제에 이런 것이 있냐고 아내에게 되물었습니다. 아내도 조금은 어이없다고 했지만 아이의 답도 참 어이없다며 실소를 금하지 못했습니다.

 

그래서 페이스북에 올렸더니 사람들의 반응도 초등 3학년 문제치고는 어렵다는 말과 딸아이의 답이 맞다는 동조가 거의 대부분이었습니다.

 

다음은 페이스북의 반응 글들입니다.

 

“천재다.”

“최곱니다^^”

“하하 이유가 없다에 한표”

“성인이 봐도 명쾌한 해답을 내리긴 어려운 문제네요. 이건 정말 우문현답입니다.”

“4300이 8100보다 크다고 하면 얼마나 많은 사람이 미치고 혼란스럽겠나? 지구 평화를 위해서.”

“쿨하네요.”

“논리적으로 대답하라고, 1보다 2가 더 큰 숫자이고 만 단위가 어쩌고저쩌고 대답하기를 바란 질문 같은데… 너무 당연한 걸 뭐라고 대답해야 할지.”

“제 생각도... 그게 이유가 있나요?”

 

 

 

페이스북에 댓글을 다신 분들도 딸애의 답에 유쾌하게 동조를 했고, 그걸 증명하라는 문제에는 어이없어했습니다.

 

그중 대학에서 수학을 가르치는 분의 말을 잠시 빌려보면요.

 

“왼쪽의 사진은 천의 자리 숫자의 개념을 설명하려 한 것 같고, 오른쪽 사진은 천의 자리와 백의 자리 숫자가 같지만 십의 자리 숫자의 크기 차이에서 큰 수와 작은 수의 서술을 원하는 것 같습니다.

 

사실 이 문제는 수학적으로는 고교과정을 넘어서는 문제입니다. 예를 들면 <1과 2 사이에 정수가 없음을 증명하시오> 이런 것과 비슷한 문제일 텐데 극한의 개념을 도입하면 증명 가능합니다. 대학수학 과정에서는 정수론의 초급과정이지만 고등학교 이과를 나온 학생이라면 조금 빡세게 공부해서 증명할 수도 있습니다.

 

딸내미가 작년에 초3이었는데 아빠와 같이 수학공부를 합니다. 헌데 정말 웃기는 문제들이 많더군요. 사진에 있는 내용은 애교 정도로 볼 수 있어요. 심지어는 파스칼정리에 관한 문제들도 보았습니다. 도대체 이런 문제들이 왜 있는가? 뭘 가르치고 싶은 건지 그런 생각이 들게 하는 문제들.

그런 문제가 나올 때마다 딸내미에게 하는 말이 있죠.

이런 건 몰라도 돼. 수학경시대회라면 모를까 학교 시험에는 나오지 않을 거야.

말이 길어졌는데 제가 보기엔 훌륭한 답변입니다. ㅎㅎㅎ”

 

또 다른 한 분은 진지하게 이 문제를 푸는 방법과 답을 설명해주신 분도 있습니다.

 

“서술형 문제 도입되고 나서 생긴 웃지 못 할 답들 중 하나입니다. 앞으로 절반 정도 이런 문제가 나올 텐데 초등 수학 교과서 부모님들이 꼭 분석해 보셔야 할 겁니다. ‘산수’가 아니라 "수학"입니다. 그냥 답을 알고자하는 수학이 아니고 시작과 과정 결론까지 뼈대와 살을 채우는 수학입니다.

초등 1학년 서술형 예를 들면 4는 6보다 작습니다. 왜 그렇게 생각하나요? 어른들은 감히 답을 못하죠. 4는 네 개이고 6은 여섯 개이기 때문입니다. 두 개가 모자라기 때문입니다. 또는 두 개가 남기 때문입니다. 이런 식으로 답변해야 합니다. 3학년 자릿값 개념을 정확하게 알고 있는지 묻는 질문이네요. 4300은 천이 4개이고, 8100은 천이 8개이기 때문에 4300이 더 작습니다.

 

우리 세대가 배웠던 산수문제는 그냥 단순 계산에 개념 정리 없이 점수에만 급급한 문제뿐이어서 고등수학 들어가면 수포자(수학포기자)가 수두룩했지요. 우리 아이들 세대는 개념과 사고력, 논리력이 함께 어우러진 교과입니다. 그래도 수포자는 생기지만 수 년 뒤에는 수학을 즐겁게 하지 않을까요? 계산하는 수학이 아니라 표현하는 수학으로.”

 

한바탕 웃고 넘길 문제일까요? 아니면 진지하게 고민해야 될 문제일까요? 여러분의 생각은 어떠세요?

Posted by 김천령

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  2. 김진

    애들은 놀아야한다고 뭐든 어른 탓 학교탓 사회탓 하시는 분에게 한가지 여쭙죠~~
    수업시간에 놀아야합니까? 왜 자기애들은 뭔 짓을해도 다옳죠? 공부를 배우기위해 학교에 온 많은 아이들은 뭔가요? 물론 자유로움 중요하죠 그렇지만 혼자사는 세상이 아니니 피해는 주지말아야죠. 수업시간에 잘안듣고 엉뚱짓하는 아이를 두둔하며 학교탓 사회탓 하실거면 집에서 놀리시든지 대안학교를 보내셔야죠. 말이 좀 과격했다면 죄송합니다. 얼마전 저의아이와 같은반 애가 수업시간에 매번 딴소리하고 애들 공부못하게 고함지르고해서 아이 담임선생님이 야단을 쳤더니 그아이의 아빠라는 사람이 수업중에 찾아와서 자기애는 자기도 꾸중한번 안한다며 다음부터 그러면 가만 안있겠다고 했다더라구요 ~ 제 말은 자기아이가 정말 사랑스럽겠지만 지킬건 지켜야한다는 것을 부모가 가르침을 줬으면합니다.

    2013.11.25 12:45 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
  3. 아마 정답은 숫자가 많으니까 이것이 더 큰 숫자이니까를 요구 한듯 한데 한마디로 우문 현답을 하였습니다
    이유가 어디 있습니까 그냥 크고 작을 뿐이네요

    2013.11.25 13:49 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
  4. ㅋㅋㅋ 동감 일전에 초1학년인 제 아들시험문제
    1, 45-3=? 정답과 풀이과정을 적으시오.
    정답=42 풀이과정= 문제를 잘 읽고 생각을 해서 풀었습니다
    이렇게 썼네요

    2013.11.25 13:51 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
  5. gottlieb

    80년대 서울대학교 수학과의 2학년 1학기 해석학 중간고사의 총 다섯개의 문제 가운데에 한 문제가 "1이 0보다 크다는 것을 증명하라."라는 것이었습니다. "당연한 것"이란 없습니다.

    어느 분이 말씀하신 것처럼, 자릿수의 비교로 수의 크기를 판단하도록 하는 문제라면, 방향이 아주 잘못된 듯 하네요. 제가 초등학교 교과서에 나온 내용은 고려하지 않고 "문제만을" 보았을 때는 문제 자체가 묻고자 하는 방향이 불분명합니다. 교과서에 그런 내용이 있다고 하더라도, 이는 특정한 방향의 사고를 하도록 유도하는 내용이라고밖에 볼 수가 없군요. 그 아이가 언젠가 수학을 제대로 배우게 되면 버려야할 내용이죠. 그런 것들은 가르치면 안됩니다.

    저런 논란의 소지가 많은 내용 말고도 아이들에게 창의적 사고, 수학적 사고를 하도록 할 수 있는 내용도 많고 문제도 많이 있습니다. 어른들이 볼 때에 언뜻 직관적이고 쉽게 보이는 것들이야말로 참으로 어려운 문제를 내포하고 있을 때가 많습니다.

    그리고, 아이가 부모에게 저런다고 수업시간에 함부로 하거나 남에게 피해줄 아이로 보이질 않네요. 저 아이는 관심과 사랑을 받고 자라는 아이니까요. 게다가 이과 소질 운운하신 내용은 정말 어이가 없군요. 수학이 이과 과목이라고 생각하시는 모양이죠?^^과학이 뭔지는 혹시 아시면서 그런 말씀을 하시는지, 혹은 수학과 여타 다른 이과 과목들의 본질적 차이에 대해 생각이나 해보셨는지 반문하고 싶습니다. 우리 나라의 주입, 암기를 강요하는 권위적 교육 풍토에서 자라나신 분들이 입은 폐해가 적나라하게 드러나는 댓글들을 보면서, 제발 앞으로의 아이들은 그렇게 되지 않기를 바랍니다. 물론 눈에 보이는 현실은 절망적입니다만.

    2013.11.25 14:36 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
  6. gottlieb

    수학이라는 거대한 구조물을 받치는 가장 아래의 토대는 공리와 정의라는 것입니다. 스피노자의 에티카 앞부분을 읽어보시면 그게 어떤 것인지 대충 감을 잡으실 수 있을 겁니다.

    공리란 한마디로, "그게 무슨 이유가 있나?"에 해당되는 말입니다. '이건 인간 이성으로 논리적 설명이 거의 불가능하니, 이건 그냥 진리라고 받아들이고, 여기서부터 다른 이야기를 시작하자' - 대충 이런 의미죠.

    하지만 그 시스템으로 제대로 구축된 수학을 공부하는 것은 대학에 들어가서 전공을 해야만 가능합니다. 그 외의, 혹은 그 전의 모든 수학 교육은 어떤 "묵시적 공리" 비슷한 것을 통해서 학습합니다. 아주 정교한 수학적 사고가 필요한 것들은 그 대체재로 넘어가거나, 혹은 그냥 그렇다고 치고 넘어가는 겁니다. 이를테면, 수열이나 미분, 적분에서 그토록 애용(?)되는 '무한대'라는 개념은 입실론-델타 개념으로 깡그리 대체됩니다.

    크다, 작다의 개념 또한, 그냥 직관적 이해만으로도 충분한 개념입니다. 그걸 초등학생들에게 가르치려면, 뭔가 오개념을 가르치거나, 또 다른 무엇인가를 "전제"하고 모래성을 쌓아야 합니다. 그리고, 이건 그럴 필요가 없는 것입니다. 지적 낭비라고 할 수 있죠.

    "교과서에 이렇게 나오니까 그렇게 따라 하면 된다."라고 말씀하시는 분들께서는, 그런 사고가 얼마나 많은 진정한 천재들을 말살할 수 있을 지 상상해보시기 바랍니다. 창의성이란 기발함이 아니라, 기본에 충실함으로써 나오는 것입니다. 항상 본질적인 질문을 해야만 하죠. "도대체 숫자가 크다는 것이 무엇인가?" "첫째 자리가 크면 왜 숫자가 크다는 것일까?" 이런 질문들이 본질적 질문에 해당합니다. 물론 이 질문들에 제대로 대답할 수 있는 어른들은 거의 없습니다. 아울러, 그냥 웃고 넘겨버릴 문제도 아닙니다.

    너무 길어질(이미 길어졌나?^^) 내용이라, 대충 마치겠습니다. 저런 대답을 하는 아이의 심리상태가 반항처럼만 보이겠지만, 어떤 좌절이나 혹은 상식에 반하는 질문에 대한 거부감일 수도 있습니다. 정말 세심히 살피고 대화를 나누어야 할 부분입니다. 또한, 저런 질문 하나와 저런 대답 하나로부터 정말 대단한 이야기의 실타래가 끌려 나올 수 있습니다. 그거야 말로 어른의 능력과 아이의 자질이 제대로 어우러졌을 때 나오는 선물이겠죠.

    우리 모두가 꿈꾸는 아름다운 세상이 반드시 이루어지기를 바랍니다.

    2013.11.25 14:52 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
  7. gottlieb

    첨언하자면, 우리가 덧셈, 뺄셈을 배울 때 "연산", 혹은 "이항 연산"의 개념이나 성질을 제대로 공부하고 나서 배우지 않죠? 그냥 그렇게 받아들입니다. 숫자의 크기 또한 그렇게 받아들이고 가야 할 문제라고 생각합니다. 적어도 초등학교에서 그렇게 다룰 문제는 아니라는 생각이죠. 그게 무슨 이유가 있나요?^^ 그거 엄청 중요해요? 그거 제대로 설명 못하면 그 다음 진도 못나가요? 어차피 대충 넘어갈거쟎아요(어설픈 자릿수 비교 등으로). 그거 완벽히 설명할 수 있는 초등교사는 우리나라엔 적어도 거의 없습니다. 저런 내용을 초딩 교과서에 담은 교과서 저자들이 한심스럽게 생각되기까지 합니다.

    2013.11.25 15:04 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
  8. 앞으론 수학문제가 이런식으로 된다고 하니 어느 정도 괜찮다고도 보이고요. 단 학생들에게 정확한 개념을 열정적으로 학습시킬 수 있는 선생님들이 문제네요. 참고로 "1+1=2 입니다. 증명하시오"라는 문제는 수십년전 동경대 주관식문제입니다.
    초등학생 참 귀엽네요^^

    2013.11.25 15:30 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
  9. 아마 초등학교때 이런식의 답을 했던 사람들 제법 될겁니다.
    저도 그랬으니까요.
    특히 사회시험과 도덕시험에 대해서 객관식 문제에 도저히 답을 하나만 못적겠더군요.
    그래서 여러개의 답을 썼더니 거의 빵점에 가까운 점수가 나왔더랬죠.
    그랬던 기적이 있습니다.
    정답을 원하는 시험에 다른 생각을 가신 사람의 답은 틀린답이 되어 버리는것이죠.
    이 사회가 원하는 사람은 그런 사람들인것 같습니다.
    아직까지는...

    2013.11.25 17:18 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
  10. 창조적인 답변이자 의표를 찌르는 역질문

    2013.11.25 18:12 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
  11. 두 숫자의 크기를 설명하는 방법은 있지만 초3에게는 너무 어렵죠. 정말 초등학생다운 명쾌한 답입니다.bdbdbdbd

    2013.11.25 20:05 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
  12. 웃자고 올리신 글이겠지만, 외국교육에서처럼 논리력을 키우려면 필요한 문제인 듯 싶네요. 그리고 학교에서도 충분히 수업한 내용일 거구요. 수학 교육이 제대로 되어야 합니다. 물론 다른 사회 과목이나 과학 과목들도 중요하구요. 아이들이 계속 문제나 현상에 대해 생각하게 하는 문제들이 좋은 문제죠. 생각하는 힘을 길러주니까요. 다음부턴 같이 생각해보자~라고 하시면서 아이들이 스스로 생각할 수 있도록 지도해 주시면 좋겠네요~

    2013.11.25 23:19 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
  13. 학교에서 가르치면 당연히 다 알아야 하는 겁니까?
    초3 아이들의 지적수준을 벗어나는 문제를 내고 답만 주입시키고나면 무조건 다 잘 대답해야하는 건가요?
    초3이 저걸 완벽하게 이해할 수 있고 설명해낼 수 있다면 정규교과 과정에 바로 2진법, 8진법, 16진법 등을 집어넣어도 전혀 이상하지 않습니다. 다 잘 이해할테니까요.

    2013.11.26 02:33 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
  14. 숫자는 관념적인 것이기 때문에 어린아이들이 그것을 이성적으로 분석할 능력까지는 가지지 못하는 게 당연한겁니다.
    오히려 당연히 큰 것처럼 느껴지는 것이 머리속에 표상으로서 숫자가 자리잡고 있다는 증거겠죠.
    초3이 저런 문제를 푼다는 것 자체가 주입식 교육의 폐해입니다.

    2013.11.26 02:34 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
  15. ㅎㅎ 저도 수긍이 가는데요
    그게 이유가 있나요?

    2013.11.26 12:26 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
  16. 요새 수학 교육의 유행이 이렇더군요. 솔직히 마음에 들지 않습니다. 역시나 댓글에도 이런 유행을 옹호하는 학부모나 교사 분들이 많이 보이네요. 그건 신념의 문제이니 그걸 공격하고 싶은 건 아닙니다.

    하지만 특히나 과한 것은, 남의 아이의 재능을 멋대로 판단하려고 하는 분들입니다. 저는 어디 가서 이과 재능이 부족하다는 소리 한 번도 들어 본 적 없습니다. 하지만 저런 문제는 언제나 당혹스러웠고 짜증났죠. 밑에 어느 분이 그러시는군요. "어떻게든 답은 적을 수 있는 문제"라고요. 맞는 말이긴 합니다. 그 댓글을 쓴 분은 '차'를 통한 크기 비교를 생각하신 것 같은데, 제가 보기에 이 문제의 의도는 그것이 아닙니다. 저 분은 초등학교 수준의 문제 의도도 파악하지 못한 채, 남의 아이의 이과적 재능을 재려고 하시는군요.

    저건 학교 시험지도 아니고, 아이 입장에서 최선을 다해서 풀어야할 이유도 없습니다. 저라도 학원 숙제 같은 것으로 저런 문제가 나왔다면 적기 귀찮아서 넘어갔을지도 모릅니다. 저 아이의 국어, 수학, 논리 재능을 평하려는 분은, 초등학생과 진지하게 대화나 해 봤으련지 의문입니다. 초등학생은 정말 미성숙합니다. 고작 저런 답 하나로 재능을 평가할 수 있을 만큼 일관성 있고 완성된 존재가 아니라는 겁니다.

    많은 사람이 "수업을 제대로 들었을지 의문이다."라고 하시는데, 전 반대로 "수업을 제대로 하기나 했을지" 의문입니다. 제가 초등학교 시절을 돌아 보면, 교사 중에 자격이 덜 떨어진 사람이 한두 명이 아니었거든요. 수업은 지도지침을 그대로 읽고, 문제는 오류 투성이, 채점도 오만 한 가득이었습니다.

    남의 아이의 환경도 성장 배경도 문제를 풀 당시의 기분 상태도 모르면서, 자기가 다 아는 양 오지랖 떠는 것. 참 한심한 행동입니다.

    2013.11.27 16:46 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
  17. 원더우먼

    너무 재밌어서 퍼갑니당~~^^

    2014.01.11 00:42 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
  18. 원더우먼

    너무 재밌어서 퍼갑니당~~^^

    2014.01.11 00:42 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
  19. 그런데 질문 하나가 있습니다.

    '1과 2사이에 정수가 없음을 증명하시오'를 어떻게 극한으로 증명할 수 있지요?

    2014.06.18 16:40 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
  20. 오사마빈라덴

    저런 문제 도대체 누가 내는겨
    교육부뭐하냐 이번에 싸그리 다 잡아들여

    2017.01.13 07:30 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
  21. susanglgj

    좋은 문제에요.
    대부분 어릴때 부터 저런 문제를 등한시 한 결과 수학이 재미없는 과목이 되는 겁니다.
    '제대로 가르치면 바로 성장하는 법'
    저의 생각입니다.

    2017.12.21 10:38 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]